Окончил театральное училище в 1941 году, и выпускной бал после успешно сданного дипломного спектакля был назначен на 22 июня. Но началась война, и студенты сыграли спектакль в почти пустом зале. Вскоре в училище был сформирован истребительный батальон, задачей которого была поимка диверсантов, помогающих самолетам находить цели для бомбардировки, а Борис подал заявление об отправке на фронт, и 7 июля 1941 года был призван в армию. Прошёл курсы переподготовки начсостава в Военной академии тыла и транспорта имени Молотова в Харькове. Как лейтенант интендантской службы был отправлен на Северо-Западный фронт. Прошёл переподготовку в Рыбинске. Как строевой командир служил в штабе Северо-Западного фронта. Был начальником штаба батальона в 14-м гвардейском полку 7-й гвардейской дивизии 10-й гвардейской армии. 8 апреля 1942 года в бою у деревни Михайловка в районе Лычково Иванов был тяжело ранен и до сентября лежал в госпиталях с угрозой ампутации руки.
После выписки Борис поехал в Рыбинск, но в дороге у него украли деньги и документы. Он был вынужден остаться в городе, где работал в местном драматическом театре.
С 1944 года более полувека играл в Театре имени Моссовета. С 1961 года снимался в кино. Талантливый, остроумный и весёлый, он всегда был душой театра, постоянно участвовал в различных театральных капустниках, был шутником, заводилой и неунывающим человеком. Но в работе Иванов был необычайно требовательным, и для него не существовало мелочей.
Ушёл из жизни 2 декабря 2002 года.
